Nonlocal gradients within variational models : existence theories and asymptotic analysis

Kurzfassung/Abstract

Die Betrachtung von nichtlokalen energiebasierten Modellen hat in den letzten Jahrzehnten aufgrund ihrer Relevanz für Anwendungen und der damit einhergehenden neuen mathematischen Herausforderungen erheblich zugenommen. In diesem Zusammenhang befasst sich diese Arbeit mit einer Vielzahl von Aspekten von Variationsproblemen mit nichtlokalen Gradienten. Diese wurden für die Modellierung der Entstehung von Rissen und Kavitation in Materialien vorgeschlagen und können verwendet werden, um scharfe Merkmale bei der Rauschentfernung in Bildern zu behalten. Die Beiträge dieser Arbeit beziehen sich auf mehrere Familien von nichtlokalen Gradienten und können in die folgenden übergreifenden Themen unterteilt werden:

(i) Entwicklung von nichtlokalen Sobolev-Räumen;

(ii) Existenztheorien für Minimierer von nichtlokalen Integralfunktionalen;

(iii) Asymptotische Analyse von parameterabhängigen Problemen.

Im Kontext von (i) vereinheitlichen wir die Ergebnisse für den Riesz-Gradienten und den fraktionalen Gradienten mit endlichem Horizont, indem wir allgemeinere nichtlokale Gradienten mit radialsymmetrischen Kernen betrachten.

Basierend auf einer detaillierten Analyse des Fourier-Symbols des nichtlokalen Gradienten stellen wir minimale Annahmen für die Kernfunktion so auf, dass Poincaré-Ungleichungen und kompakte Einbettungen gelten. Außerdem zeigen wir scharfe Einbettungen in Orlicz-Räume und Räume mit vorgeschriebenem Stetigkeitsmodul, die die fraktionalen Sobolev- und Morrey-Ungleichungen verfeinern.

Unter Verwendung dieser verfügbaren Werkzeuge ist das Ziel in (ii), die rigorose Herleitung von Existenzresultaten für Minimierer von Integralfunktionalen, die von nichtlokalen Gradienten abhängen. Wir entwickeln dazu einen Translationsmechanismus, der nichtlokale Gradienten mit ihrem lokalen Gegenstück verbindet, und eine Charakterisierung der Unterhalbstetigkeit nichtlokaler Funktionale durch den klassischen Begriff der Quasikonvexität ermöglicht. Auf dieser Grundlage können wir die Existenz von Minimierern mit Hilfe der direkten Methode unter Dirichlet- oder neuen Neumann-Randbedingungen nachweisen. Die letztgenannten Bedingungen erfordern die Analyse von Funktionen mit verschwindendem nichtlokalen Gradienten, die überraschenderweise einen unendlich-dimensionalen Vektorraum bilden, und charakterisieren diese mittels moderner Ergebnisse zu Randwertproblemen mit Pseudodifferentialoperatoren. Wir behandeln außerdem Funktionale mit linearem Wachstum, die die übliche Koerzitivitätsannahme nicht erfüllen, und geben eine explizite Formel für ihre Relaxierung in dem Raum der Funktionen mit beschränkter fraktionaler Variation. Dies liefert neue Erkenntnisse über das Verhalten von Minimalfolgen und basiert auf einer sorgfältigen Analyse der Konzentrationseffekte fraktionaler Gradienten unter Verwendung der Young-Maß-Theorie.

Aufbauend auf den Existenzresultaten liegt der Schwerpunkt in (iii) auf der Betrachtung der Parameterabhängigkeit der Minimierer, insbesondere bezüglich des fraktionalen Parameters s und des Interaktionsradius δ. Mittels Gamma-Konvergenz zeigen wir, dass die Minimierer stetig von s abhängen und, im Fall s → 1, zu lokalen Lösungen konvergieren. Parallel beweisen wir, dass die Lokalisierung auch bei einem verschwindenden Horizont δ → 0 auftritt, während das Regime des divergierenden Horizonts δ → ∞ zu den Modellen führt, die auf dem fraktionalen Riesz-Gradienten basieren. Ein entscheidender Bestandteil zum Beweis dieser Ergebnisse sind gleichmäßige Kompaktheitsaussagen, die durch die Untersuchung der Parameterabhängigkeit der Fourier-Symbole gezeigt werden. In Bezug auf Anwendungen entwickeln wir einen abstrakten Rahmen für die Lösbarkeit von Bilevel-Optimierungsproblemen für das Parameterlernen bei der Bildentrauschung. Die Ergebnisse der Arbeit zeigen, dass die Modelle mit nichtlokalen Gradienten in diesen Rahmen passen, wobei der fraktionale Parameter abgestimmt wird, um den optimalen Grad der Entrauschung zu erhalten.