Die Nullstellenverteilung von rationalen Funktionen

Kurzfassung/Abstract

Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung eines Polynoms gibt es seit Mitte des 20. Jahrhunderts. Darin wird die maximale Abweichung des normalisierten Nullstellenzählmaßes eines Polynoms von der Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve abgeschätzt. Diese Diskrepanzaussagen sind eng verknüpft mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen die Nullstellenverteilung einer Folge von Polynomen schwach-stern gegen die Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve konvergiert. Seit einigen Jahren gibt es auch Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz der Nullstellenverteilung einer Folge rationaler Funktionen gegen ein Maß, das von der Lage ihrer Polstellen bestimmt wird. Deshalb stellte sich die Aufgabe, auch für rationale Funktionen sinnvolle Diskrepanzsätze zu beweisen. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung einer rationalen Funktion R für geschlossene Jordankurven und für Jordanbögen. Hierbei ist die Jordankurve bzw. der Jordanbogen eine Zusammenhangskomponente des Randes eines Gebietes D. In einer Umgebung der Kurve bzw. des Bogens wird dann das absolute Nullstellenzählmaß von R mit der Summe aus den harmonischen Maßen der Polstellen von R in D verglichen. Die neuen Diskrepanzsätze verallgemeinern und verschärfen sowohl bisherige Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz des Nullstellenzählmaßes von Folgen rationaler Funktionen als auch bekannte Diskrepanzsätze für Polynome.